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三种素数筛选法详解  

2009-10-03 12:21:35|  分类: 算法学习 |  标签: |举报 |字号 订阅

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第一种:剔除2 3 4 5 6 ... ... 的倍数

在i从2开始的增一变化过程中,剔除i的倍数即j*i(j是大于等于2的自然数,j的上限是问题规模M)
为了减少重复步骤,可以每当i递增到等于第一个没有被剔除的(素)数时再剔除该数的倍数,
重复上述过程至i到达问题规模m的平方根+1

需要说明的三个问题:
假设循环到第n个数,如果该数没有被剔除,那么该数不能是前边所有数的倍数,该数更不可能是后边数的倍数,该

数就是素数。
如果该数是合数却没被剔除,那么该数能分解为两个小于该数的数的积的形式,而前边剔除的数包含了所有小于该

数的数之间的积,这是矛盾的。

为什么筛选循环的第一层只循环至问题规模m的平方根+1
因为,对于一个数m,所有大于该数平方根的数的积已经大于该数了,再剔除下去只是多余。

为什么筛选循环的第二层只循环至MAX/i?
因为此时j*MAX/i就等于MAX,此时需要标记为错误的数已经到了问题的规模即MAX,没有必要在标记比MAX大的值不

是素数,此外用来标记i*j不是素数的数组只有MAX+1的容量,这样做是向不是自己申请的内存空间里写数据,是危

险的。

 

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
using namespace std;
const int MAX=1000;

int main()
{
     int i=0,j=0,n=sqrt(MAX)+1;
     int a[MAX+1]={0};

     for(i=2;i<=n;i++)  //筛选循环
       for(j=2;j<=MAX/i;j++)
           a[j*i]=1;

     
     for(i=2;i<=MAX;i++)
        if(a[i]==0)
        {
          cout.width(7);
          cout<<i<<" ";
        }
     system("pause");
     return 0;
    
}


用a[i*j]来标记i*j不是素数,这一个相对来说比较容易想到

 

再来看看下一个(第二种,稍作了优化)

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define MAX_P  500
int nList[MAX_P] = {0};
void Calc()
{
    int n,p,t,sq=(int)sqrt(MAX_P*2+1);
    for (n=3;n<=sq;n+=2)
    {
        if (nList[n>>1]) continue;
        for (t=n*n;t<=MAX_P<<1;t+=n<<1) //筛选循环
            nList[t>>1] = 1;
    }
    printf("%5d", 2);
    for (n=t=1;t<MAX_P;++t)
    {
        if (nList[t]) continue;
        printf("%5d", (t<<1)+1);
        if (++n==10)
        {
            printf("\n");
            n=0;
        }
    }
}
int main(void)
{
    Calc();
    getchar();
    return  0;
}

这个程序的方法是通过排除3 5 7 9 11 ... ...中的素数n的奇数倍来排除素数的
用数组nList中的第[t/2]个元素的值(取1)来标记t不是素数。


1、为什么是奇数的倍数?
首先我们假设这个算法是正确的。由于素数除了2都是奇数,那么每次送入筛选循环的n值都是奇数,排除t时t的递

增表达式可写为
for(int i=0;i<MAX_P/2;i++)
    t=n*(n+2i)
n是奇数n+2i也是奇数。这与算法的思想是一致的。


2、为什么3 5 7 9 11 ... ...中的素数n的倍数(奇数)要从n开始?

就是说从1开始和从n开始的效果是一样,或者说n以前的奇数乘n都可以等于n以前(比n小的)素数的更大(比n大的

)奇数倍数。由于n是奇数,可以设n以前(比n小的)的奇数为n-2i,比n大的奇数为n+2j;那么我们的任务就是,

证明n*(n-2i)可以等于m*(n+2j),其中m为小于n的素数,i、j都是正整数。即n(n-m)=2mj+2ni。这有变成证

明n-m是偶数,这是显然的,两个奇数之差必然是偶数。


3、为什么筛选循环剔除了所有的非素数?

不管该算法正确与否,3 5 7 9 11 ... ...中的任意n的奇数倍都排除了某些合数。
首先我们假设n循环至某个n时,为合数却没有剔除,那么n可以分解因数为多个素数且是奇数(由于n是从3开始的奇

数)的积,当然也可表示为一个素数a与一个奇数b的积的形式,那么这个a必然是小于n的素数。这个素数的奇数倍

就必然在前次循环中排除了。这与没有被剔除矛盾。所以该算法正确


最后我们来看看,第三种
#define MAX_N 1000
int a[MAX_N+1];
int p[MAX_N+1];
int nCount=0;

void Init(int n) //线性筛法,不过在小范围上(约n<1e7)不比上一个方法快
{
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
        if (a[i]==0)
        {
            p[++nCount]=i;
        }
        for (int j=1,k; (j<=nCount) && (k=i*p[j])<=n; j++) //筛选循环
        {
            a[k] = 1 ;
            if (i%p[j] == 0) break;
        }
    }
}

#include <iostream>
int main(void)
{
    Init(MAX_N);
    for(int n=1; p[n]>1; ++n)
    {
        printf("%5d", p[n]);
    }
    return 0;
}

 

这一种可以说是对前种算法的直接变形
用a[k]=1来标记k不是素数
第一种是用筛选出来的正确的数(即素数)的倍数剔除合数

第二种是用2到n乘筛选出正确的数,即素数

如果你不以为然,我可以把for (n=3;n<=sq;n+=2)该为(n=3;n<sq;n++)
着就和第一种算法接近了一些,既然第一中和第二中被证明是正确的,那么这一种就也是正确的。
如果能够证明if (i%p[j] == 0) break;这一句添加进去是合理的

这句可解释为当i第一次成为所挑选出来的正确的素数递增序列的某个数(设为n)的整数倍时,就没有必要让i在去

乘递增素数序列里的比n大的素数,这又可以等价于 i乘比n大的合适的素数(设为max)可以等于比i大的整数(设

为j)乘比n小的素数(设为min),且这个j不是m的整数倍,即i*max=j*min;
又可以等价与j=i*max/min是一个不是min倍数的整数,根据以前做因式分解的经验一个整数必然能分解为一个递增

的素数序列的积,如果我们假设i*max是这么一个整数,max是因数递增序列中稍大的素数,则min只要是递增序列中

小于max的素数,就能使j为整数,很显然min包含于所有小于max的素数中,自然j是个整数,
又由于i不是max的倍数,max又不是min的倍数(如果是,max是素数吗?)那么i必然是min的倍数,又i是第一次成

为所挑选出来的正确的素数递增序列的某个数(设为n)的整数倍,i必然不是min平方的倍数,即i/min不是min的倍

数,i/min*max也不是min的倍数
至此就证明了if (i%p[j] == 0) break;这一句添加进去是合理的

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